Mathe-Nachhilfe für die Klassen 11 - 13
Qualifikationsphase (Grundkurs und Leistungskurs)

Analysis I – Differentiation

  1. Funktionen
    • Die Grundgraphen
    • Termini: Definitionmenge bzw. Definitionsbereich, Wertemege, Funktionsvorschrift, Funktionsterm, Funktionsgleichung, Funktion, Definitonslücke, Mengen (natürlichen Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen), Intervall, Element und Graph einer Funktion.
    • Darstellung einer Funktion mit dem GTR
    • Tangente, Passante, Sekante, Berührpunkt und Tangentengleichung
    • Potenzfunktionen
    • Funktionen: linear, quadratisch, kubisch und bi-quadratisch
    • Regression mit dem GTR
    • Ganzrationale Funktionen
    • Gebrochen rationale Funktionen (Hyperbeln)
    • Polstellen und Asymptoten einer Funktion
    • Überlagerung zweier Funktionsgraphen
    • Nullstellen von ganzrationalen Funktionen: Ausklammern, Substitution, synthetische Division und Polynomdivision
    • Fundamentalsatz der Algebra (reelle und komplexe Nullstellen)
    • Linearfaktorzerlegung
    • Nullstellen einer Funktion – einfache und doppelte Nullstellen; Vielfachheit derNullstelle; Graphen und Nullstellen
    • Transformationen von Graphen
    • Wiederholung – Kurvendiskussion
    • Definitionsmenge und Wertemenge
    • Schnittpunkte des Graphen mit den Achsen
    • Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse (Achsensymmetrie bezüglich einer beliebigen Achse)
    • Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs (Punktsymmetrie bezüglich eines beliebigen Zentrums)
    • Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte)
    • Wendepunkte
    • Krümmungsverhalten des Graphen
    • Monotonie einer Funktion
    • Grenzverhalten
  2. Einführung in der linearen Gleichungssysteme
    • Lineare Gleichungen
    • Lineare Systeme
    • Matrizen – Schreibweise und Begriffe
    • Erweiterte Matrizen; Matrixform eines linearen Systems
    • Elementare Zeilenumformungen
  3. Gaußsches Eliminationsverfahren
    • Reduzierte Zeilenstufenform
    • Gauß-Elimination, REF – Reduced Echelon Form
    • Gauß-Jordan-Elimination, RREF – Reduced Row Echelon Form
    • Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme
    • GTR – linsolve und rref
    • Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen geometrisch interpretieren
  4. Matrizen und Matrixoperation
    • Matrixoperationen
    • Eigenschaften der Matrixoperationen
    • Nullmatrizen
    • Einheitsmatrizen
    • Die Inverse einer Matrix
    • Eigenschaften der Inversen
    • Potenzen einer Matrix
    • Elementarmatrizen und Inverseberechnung
    • Gleichungssysteme und Invertierbarkeit
  5. Steckbriefaufgaben
    • Bedingungen
    • Innermathematisch und Außermathematisch (aus Sachkontext in ein Gleichungssystem übersetzen)
    • Trassierung von Strecken
    • Trassierungskriterium
  6. Funktionenscharen – Die Bedeutung des Parameters im Kontext interpretieren
    • Kurvenscharen,
    • Ortskurven bzw. Ortslinien
    • Extremwertaufgaben 1
    • Zielfunktion, Nebenbedingung und Strategie für das Lösen von Extremwertaufgaben
    • Wiederholung – Logarithmen
    • Exponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus
    • Die natürliche Exponentialfunktion
    • Extremwertaufgaben 2
    • Exponentielles Wachstum – Verdoppelungszeit
    • Exponentieller Zerfall – Halbwertszeit
    • Begrenztes Wachstum und begrenzter Zerfall – Das Newtonsche Abkühlungsgesetz
    • Logistisches Wachstum
    • Funktionen: Summe, Differenz, Produkt und Quotient
    • Verkettung von Funktionen
    • Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel
    • Der Ableitungsbegriff in der Physik
    • Der Satz von Rolle
    • Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
    • Kriterien für die Monotonie differenzierbarer Funktionen
    • Wiederholung – Trigonometrie
    • Trigonometrische Funktionen
    • Ableitung der trigonometrischen Funktionen
    • Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen
    • Umkehrfunktion – Satz zur Umkehrfunktion
    • Umkehrfunktion 1 – Der Logarithmusfunktion
    • Umkehrfunktion 2 – Die zyklometrische Funktionen
    • Umkrehrfunktionen 3 – Die Areafunktionen
    • Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen
    • Differenzierbarkeit über einem Intervall
    • Regel von de l’Hospital
    • Zusammengesetzte Funktionen im Sachzusammenhang

Analysis II – Integration

    • Rekonstruktion einer Größe
    • Ober- und Untersumme
    • Das Integral
    • Riemannsches Integral
    • Rechenregel für Integrale: Linearität des Integrals und Intervaladditivität
    • Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
    • Stammfunktionen
    • Der Mittelwertsatz der Intergralrechnung
    • Integralfunktionen
    • Integral und Flächeninhalt
    • Uneigentliche Integrale
    • Der Begriff des Differentials
    • Partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Partialbruchzerlegung
    • Logarithmische Integration
    • Numerische Integration – Sehentrapezregel, Tangententrapezregel und Fassregel von Keppler
    • Volumen von Rotationskörper
    • Zusammengesetzte Funktionen im Sachzusammenhang

Geometrie

  1. Vektoren
    • Das kartesische Koordinatensystem; Punkte im Raum
    • Ortsvektoren, Gegenvektor und der Nullvektor
    • Streckenzug
    • Betrag eines Vektors; Längen von Strecken
    • Rechnen mit Vektoren: Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation
    • Linearkombination
    • Veilfachheit von Vektoren; Kollinearität
    • Vektorraumaxiome; Untervektorraum
    • Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
    • Basis und Dimension eines Vektorraums; Erzeugendensystem
    • Isomorphe Vektorräume
  2. Geraden
    • Stützvektor; Richtungsvektor; Parameterform von Geraden und Strecken
    • Geraden zeichnen; Punktprobe; Mittelpunkt einer Strecke; Bewegungsaufgaben
    • Einheitsvektoren; Vektoren normieren
    • Die drei kanonischen Einheitsvektoren
    • Geometrie und Extremwertaufgaben
    • Dreiecke: Schwerpunkt eines Dreiecks und Seitenhalbierenden eines Dreiecks
  3. Gegenseitige Lage von Geraden
    • Schneidende Geraden, zueinander parallele Geraden, zueinander windschiefe
    • Geraden und identische Geraden
    • Parameter bei Geraden und Strecken im Sachzusammenhang interpretieren
  4. Ebenen im Raum
    • Wiederholung: Das Gauß-Verfahren
    • Ebenen im Raum – Parameterform
    • Spannvektoren; Parametergleichung einer Ebene
    • Punktprobe in Ebenen; Spurpunkte und Spurgeraden
    • Aufstellung einer Ebene mittels
      • zwei Geraden, die echt parallel sind,
      • zwei sich schneidende Geraden,
      • eine Gerade und einen Punkt
      • drei Punkte
    • Normalengleichung einer Ebene; Hessesche' Normalenform
    • Koordinatengleichung einer Ebene
    • Durchstoßpunkt einer Geraden mit einer Ebene
    • Schnitt von Ebenen
  5. Längen, Flächeninhalt, Volumen und Winkel
    • Das Skalarprodukt, das Vektorprodukt (das Kreuzprodukt) und das Spatprodukt
    • Algebraische Eigenschaften des Skalarprodukts
    • Orthogonalität von Gerade und Ebenen
    • Abstand eines Punktes von einer Ebene
    • Abstand eines Punktes von einer Geraden
    • Abstand windschiefer Geraden
    • Schnittwinkel von Geraden, Schnittwinkel einer Geraden und einer Ebene, Schnittwinkel zweier Ebenen
    • Determinante (Cramersche Regel; Regel von Sarrus)
    • Polygone und Polyeder
    • Die fünf platonischen Körper: Tetraeder, Hexader, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder
    • Dualkörper
    • Der Kolumbus-Würfel

Stochastik

  1. Wiederholung
    • Venndiagramme und Mengen
    • Zufallsexperiment; Relative und absolute Häufigkeit; Histogramme Wiederholung: Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm, Summenregel, bedingte Wahrscheinlichkeit, Pfadregel und unabhängige Ereignisse
    • Permutation und Kombinatorik
    • Zufallsgrößen
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße; Varianz und Standardabweichung
    • Faires Spiel
    • Die Vierfeldertafel
    • Bedingte Wahrscheinlichkeit; Satz von Bayes
    • Stochastiasch unabhängige Ereignisse
  2. Binomialverteilung
    • Binomialkoeffizient (n über k)
    • Bernoulli-Versuch/Bernoulli-Experiment
    • Bernoulli-Ketten
    • Binomialverteilung im Kontext erklären und die Wahrscheinlichkeiten berechnen
    • Punktwahrscheinlichkeiten und Intervallwahrscheinlichkeiten
    • Eigenschaften von Binomialverteilungen: Einfluss der Parameter n und p auf die Binomialverteilung
    • Laplace-Bedingung und die Sigma-Regeln
    • Kumulierte Binomialverteilung
    • Erwartungswert und Standardabweichung von binomialverteilten Zufallsgrößen bestimmen
  3. Normalenverteilung
    • Die Gauß'sche Glockenkurve
    • Approximation der Binomialverteilung mithilfe der Gauß'schen Glockenkurve; Satz von de Moivre- Laplace
    • Approximation der kumulierten Binomialverteilung mithilfe der Gauß'schen Integralfunktion
    • Die Näherungsformel von Laplace und de Moivre
    • Stetige Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsdichte
    • Stetigkeitskorrektur
  4. Testen von Hypothesen
    • Zweiseitiger Signifikanztest, Annahmebereich, Ablehnungsbereich, Irrtumswahrscheinlichkeit, Signifikanzniveau α, Nullhypothese und die Alternative
    • Einseitiger Signifikanztest, Linksseitiger Test und Rechtsseitiger Test
    • Fehler beim Testen von Hypothesen
  5. Von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen
    • Schwankungsintervall
    • Vertrauensintervall; Grenzen des Vertrauensintervalls
  6. Vorabi- und Abiklausuren
    • MyPupil Nachhilfe Vorbereitungsklausuren 1: Wiederholung
    • MyPupil Nachhilfe Vorbereitungsklausuren 2: HMF, Analysis, Geometrie und Stochastik